Вся Вся жизнь построена на математике

История математики — Википедия

Данная статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в истории математики с древнейших времён до наших дней.

В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:

  1. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
  2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.
  3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
  4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
  5. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.
  6. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций[4]: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде.

Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняя китайская задача (теорема) об остатках сформировала целый раздел теории чисел.

Математика в системе человеческих знаний есть раздел, занимающийся такими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов.

Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите[5].

С распространением счёта на больши́е количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа (нумерация) может быть[6]:

  • аддитивным (один+на+дцать, XXX = 30)
  • субтрактивным (IX, девя-но-сто)
  • мультипликативным (пять*десят, три*ста)

Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.

Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до десяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту по пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками.

Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятеричную систему. А туземцы островов Торресова пролива — двоичную[6]:

Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4); Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6)

Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.)[7]. Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно.

Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби, удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была унция (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д.

Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих с ними реальных предметов: например, у греков «ромбос» означает волчок, «трапедсион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч[8].

Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки: характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Это неудивительно: измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами или пометками, так что измерить периметр можно было без труда, а для определения площади в общем случае ни инструментов, ни математических методов не было. Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории.

Древнейшие египетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян[C 1].

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, он же папирус Ринда (84 математические задачи), и московский папирус Голенищева (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны.

А основы теории чисел закладывали Пифагор, Евдокс и Евклид, Ферма и Эйлер, и сегодня опять-таки наш мир немыслим без этой, казалось бы, бесконечно далекой от реальности научной дисциплины – без теории чисел невозможна криптография, а значит, электронные платежи и вся вообще работа банков и фондовых бирж.

Вся современная жизнь построена на математических теориях, зародившихся в Древнем мире. Но при этом математическую науку всегда позиционировали как абстрактную, основанную на символической игре. Однако вышло так, что математика, демонстративно отворачиваясь от реального мира, оказалась на передовой процесса его познания. У математиков была репутация чудаков, ничего не знающих о действительности и ковыряющихся в своих бесконечных формулах. А в современном мире они стали едва ли не самыми влиятельными людьми. Их труды имеют огромное значение как для сегодняшней науки и развития технологий, так и для их будущего, ведь это будет очередным этапом в развитии математики.

Актуальная бесконечность против потенциальной

Существует по крайней мере три разных подхода к тому, что все-таки изучает математика. Один из них – математический платонизм, восходящий, как несложно догадаться, к Платону. Платон считал, что математика занимается геометрическими телами, так как именно они наиболее близки человеку, живущему в предметном мире. С древности люди задавались вопросом устройства Вселенной. Платон выделял четыре стихии, каждой из которых соответствует одно из так называемых платоновых тел – правильных многогранников. Поверхность многогранника представляет собой комбинацию определенного числа многоугольников. Огню соответствует тетраэдр, воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр, земле – гексаэдр. Позднее Аристотель настаивал на существовании пятого элемента, эфира, который решено было соотнести с додекаэдром. Между стихиями, а значит, телами, могут последовательно осуществляться химические реакции, преображающие одну в другую. В платоновской Вселенной все имеет математически совершенную структуру. И что интересно – когда стихии распадаются, они перестают быть телами. Это означает, что в момент реакции тела переходят в чистое идеальное пространство.

Плохо то, что базовые понятия математики отстали от жизни на две с половиной тысячи лет (!) и, превратившись в незыблемые догматы, вошли в вопиющее противоречие с современными научными представлениями о важнейших законах Мироздания.

Вдвойне плохо, что математика, будучи инструментальной основой всех других наук, вынуждает науку иметь дело с архаичным инструментарием, чем лишает её возможности адекватного отражения окружающей действительности.

И уж совсем никуда не годится то, что опирающаяся на безнадёжно устаревшие понятия математика не только формирует у людей искажённое крайне примитивное представление о внешнем Мире, но и приучает к лояльному восприятию внутренних парадоксов и абсурда, а также демонстрирует дозволенность высокомерного игнорирования фундаментальных Законов Мироздания.

Введение

Незнание законов, как известно, не освобождает от ответственности за их нарушение. Эта фраза обычно относится к юридическим законам. Тем более она справедлива по отношению к законам нерукотворным – Вселенским.

Один раз за обедом Гурджиев вновь заговорил об оплате, о разных способах оплаты, об оплате труда, которому обязывает появлением на свет долг перед природой. Он сказал: "Вы платите мне за то, что вам позволяют работать здесь. Но работая здесь, вы узнаете и почувствуете, как живут девять десятых всего мира. Работая физически надлежащим образом, вы сможете многое приобрести, в понимании. Если вы помогаете своему ближнему, вам, в свою очередь, придет помощь, - может быть, завтра, может быть, через год, может быть, через сотню лет. Но вам обязательно помогут. Природа должна выплачивать долги, это является законом. Если вам нравится ваша работа, мы немедленно получаем вознаграждение в виде удовлетворения. Если работа вам не нравится и мы совершаем усилие, награда должна прийти, но позднее. Это математический закон, и вся жизнь построена на математике. Настоящее есть результат прошлого, и будущее станет результатом настоящего. Все живое должно бороться. Бросая взгляд в прошлое, мы обычно вспоминаем трудные времена, время борьбы, но борьба - и это жизнь".

Кто-то спросил, почему мы рождаемся и почему умираем? Он сказал: "Вы хотите знать? В действительности, чтобы знать, вам нужно пройти через страдание. Вы должны научиться страдать не так, как вы сейчас страдаете, а осознанно. В настоящее время вы не умеете страдать ни на один франк, а чтобы немного понимать, вам нужно страдать на миллион франков".

Кроме развития ума, у знания математики есть, конечно, и другие преимущества. Немало серьёзных профессий, на которых держится вся наша цивилизация (профессия архитектора, к примеру, или инженера), полностью построены на математике, и без знания её, без навыков математического мышления, никогда невозможно будет освоить такую профессию.

Вот только очень многие эти профессии сегодня, к сожалению, находятся в глубоком загоне и не ценятся оглупевшим обществом, которое кричит о том, что математика не нужна, тем самым не замечая, что грызут корни дуба, с которого им под ноги сыплются все жёлуди достижений нашей цивилизации. И потому люди, обладающие мощнейшими мозгами и серьёзнейшими знаниями, увы, не ценятся, и зачастую живут у черты бедности. И это уже, увы, в большей степени вина и особенность именно нашего государства. Найти работу в частной фирме за границей, обладая профессией, требующей глубокого понимания математикой - значит обеспечить себя и финансовым состоянием, и общественным положением.


У Евклида есть замечательное по своей глубине и самокритичности высказывание: «Ничего нового у меня нет. У меня только метод изложения новый».

У Евклида есть замечательное по своей глубине и самокритичности высказывание: «Ничего нового у меня нет. У меня только метод изложения новый».

Действительно, он многое доказал, структурировал существующие знания, но принципиально нового у него мало.

2. Каждому рабочему необходимы математические знания. Например, токарь, обрабатывающий деталь, должен придерживаться конкретных размеров, часто ему необходима большая точность обработки детали, поэтому ему надо уметь читать чертеж.
Для тех, кто хочет заняться компьютерным программированием, без математики — никуда. Весь расчет производится только при помощи математических формул и графиков.
Для экономиста математика является важнейшей вещью, так как на ней построена вся его работа. Все операции, которые он выполняет, построены на вычислениях и расчетах. Он рассчитывает, что он должен сделать, чтобы выиграть в одной операции и сэкономить на другой.
В строительстве никак не обойтись без математики – строителям нужно подсчитать, сколько материала нужно затратить, как выверить смету, какой толщины, например, должна быть толщина стены и т.д.
Врач обязан выписать рецепт на лекарства в правильных дозах.
И в обычной жизни просто необходима математика. Например, чтобы не обсчитали в магазине или чтобы понять, хватит ли денег на несколько интересных дисков и останется ли при этом на мороженое,
математические расчеты нужны при кройке платья, приготовлении пищи на много человек.
Таким образом, математика необходима в любой профессии.

С развитием квантовой физики идеал научного объяснения начал изменяться. Оказалось, что квантовые явления не удается объяснить посредством однозначно детерминированных законов. Законы квантовой физики опираются на вероятностные представления. Но представления о времени оказываются очень устойчивыми. Квантовая механика использует время как ту же самую переменную, которая входила в классические теоретические представления. Но наряду с этим в развитии теоретической физики ХХ века можно наблюдать тенденцию нивелировать свойства времени по сравнению с пространством. Эта тенденция выражается в ней гораздо сильнее, чем в классической механике, в которой при использовании геометризированной модели времени пространство и время отчетливо и не двусмысленно различали. Видимо, вероятностный характер квантовых теорий не соответствует статическим моделям времени, воплощавшимся в теоретической физике прежде. Но квантовые теории, так же, как прежние теории, объясняя явления, строятся как безразличные к темпорализму человеческой жизни.

Что касается эмпирического уровня научного познания, то с созданием квантовой физики и теории относительности приходит понимание того, что научная деятельность является макроскопической деятельностью человека. Это было выявлено и подчеркнуто в результате анализа роли прибора и системы отсчета в научном познании. В квантовой же физике соотношение неопределенностей накладывает дополнительные ограничения на процедуру измерения времени, с которыми классическая физика не сталкивается. Более того, в процессе эмпирического исследования ученый опирается на определенное понимание времени, которое сложилось в процессе осознания действительности и самого себя как имеющих временную структуру (на уровне философской рефлексии или же в рамках обыденного сознания, имеющего в свою очередь определенные мировоззренческие предпосылки). Эмпирический уровень научных исследований, связь с которым во многом обеспечивает интерпретацию соответствующих теоретических величин как времени, предполагает учет целого ряда реальных условий, в которых живет и действует человек.

Эльхана, 26/02/14
Когда то в 5 классе, я перевелась в новую школу. Это был ад, ад - элитной школы. Стены отражали боль, в коридорах было тихо. Да, не было тех кто бегал - а только мертвая тишина. Я была маленькой девочкой, в пиджачке, отличницей до 4 класса, всегда была на 1 месте. Но потом моя семья переехала, и знаете попала не в обычную школу, а в оплачивание стены. Там где каждый день люди платили за учебу, за то что на нас орут, оскорбляют, унижают. Вот подробнее и расскажу. Это был октябрь, прошло 7 лет а я досихпор помню этот момент. Из окон озаряло солнце, все сидели за партами и перед нами сидела она - учительница, с огромным лицом, охрипшим голосом и ненавистным взглядом на меня. Вызвала и начала спрашивать то, что не знала. не успела. Она перед классом выставила, перед всеми, и сказала: посмотрите какие дегенераты растут, вот вам пример. А я была маленькой девочкой - это была математика. После этого я больше не могла понять алгебру, геометрию. Как больной крест на мой новый гуманитарный мозг.

Baltic, 13/03/14
Люди из левой колонки говорят: “Математика - царица всех наук, развивает мозг и вообще от нее много пользы”. Я с этим не согласен. Все-таки на свете полно других вещей, которые помогают развивать интеллект: шахматы, шашки, покер, кроссворды, логика, познавательные передачи, умные книги и еще много других альтернатив. А математика дана не каждому, поэтому развивает не всех. Как она может развивать тех, кто ее не понимает? Пусть лучше ей занимаются те, кому она будет реально нужна по жизни.

Ахесса, 10/07/14
Я понимаю, конечно, что математика в жизни мне очень даже пригодится. Но я не понимаю зачем изучать уравнения длиною два километра. Я просто ненавижу математику, все эти числа, квадратные корни ... Они меня просто бесят.

Jane Lost, 14/09/14
Может, она и царица наук, но это точно не для меня . Я никогда не замечала у себя тягу к точным наукам, хотя математичка и родители были уверены в моем скрытом потенциале, как ни странно.Но иногда я не могу ответить на элементарные вопросы, даже на уравнениях 1 или 2 класса туплю. Я забитый гуманитарий и все эти формулы и задачки меня откровенно выбешивают. Как будто нам это в жизни все приходится, ага.


Сриниваса Айенгор Рамануджан

В 1910-х годах Рамануджан сформулировал более чем 3000 теорем, включая свойства функции разбиения числа и её асимптотических оценок. Он также получил важные результаты в области исследования гамма-функции, модулярных форм, расходящихся рядов, гипергеометрических рядов и теории простых чисел.

Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1995 году, закрыв многовековую проблему.

В начале XX века Лебег и Борель обобщили жорданову теорию меры; на её основе был построен интеграл Лебега. В школе Гильберта появился функциональный анализ, вскоре нашедший непосредственное применение в квантовой физике.

В 1960-х годах Абрахам Робинсон опубликовал изложение нестандартного анализа — альтернативного подхода к обоснованию математического анализа на основе актуальных бесконечно малых.

Интенсивно развивается теория многомерных многообразий, стимулируемая потребностями физики (ОТО, теория струн и др.).

Общая топология стремительно развивается и находит применение в самых различных областях математики. Массовый интерес вызвали фракталы, открытые Бенуа Мандельбротом (1975).

Герман Минковский в 1907 году разработал геометрическую модель кинематики специальной теории относительности, позднее послужившую основой для Общей теории относительности (ОТО). Обе эти теории послужили стимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометрии произвольных гладких многообразий — в частности, римановых и псевдоримановых.

Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, произошла существенная переориентация математических усилий. Значительно выросла роль таких разделов, как численные методы, теория оптимизации, общение с очень большими базами данных, имитация искусственного интеллекта, кодирование звуковых и видеоданных и т. п. Возникли новые науки — кибернетика, информатика, распознавание образов, теоретическое программирование, теория автоматического перевода, компьютерное моделирование, компактное кодирование аудио- и видеоинформации и др.

Ряд старых проблем получили решение при использовании современных методов. Вольфганг Хакен и Кеннет Апель с помощью компьютера решили проблему четырёх красок (1976).

  1. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.Proclus Diadochus.«Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» //
  2. . — М.—Л., 1934. — С. 26—27.Метафизика, глава пятаяАристотель.«…так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили её и, овладев ею, стали считать её начала началами всего существующего… им казалось, что всё остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что всё небо есть гармония и число» //
  3. .Баварии в КёнигсбергИмеется в виду не нынешний Калининград, а
  1. , с. 44—47.Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984
  2. Глава XII // Математика. Поиск истины. Указ. соч.Клайн М.
  3. .УФН за март 1968 или в : Мир, 1971.М.. — Этюды о симметрии См. русский перевод в книге .С. 1—14. — № 13 // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1960. — The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Wigner E. P.
  4. , с. 323—407.Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984
  5. Числа в графике палеолита. — Новосибирск: Наука, 1974. — 240 с.Фролов Б. А.
  6. 21↑ , Том I, с. 12-13.История математики, 1970—1972
  7. ».множественно и неизменно объекты существуют равноценные: «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле : Мир, 1979. — С. 74 (подстрочное примечание). — 592 с.М. Познание и заблуждение // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — Мах Э.
  8. , Том I, с. 14.История математики, 1970—1972
  9. , Том I, с. 21-33.История математики, 1970—1972
  10. , Том I, с. 30-32.История математики, 1970—1972
  11. , Том I, с. 158.История математики, 1970—1972
  12. .С. 559—678. — Т. XII О данных числах / Пер. и прим. С. Н. Шрейдера. Под ред. И. Н. Веселовского // Историко-математические исследования. — 1959. — Неморарий.
  13. .С. 293. — Т. I Из истории средневековой атомистики // Труды Института истории естествознания. — 1947. — Зубов В. П.
  14. .С. 601—732. — Вып. 11, 1958. — М.. — В. П. Зубова Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические исследования / Пер. Орем Н.
  15. : Наука, 1982. — (Библ. «Квант», вып. 14).М.. — Рассказы о физиках и математикахГиндикин С. Г.
  16. . Introduction a l’art analytique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.Fr. Viete
  17. // Рассуждение о методе, с приложениями / Пер., статьи и комментарии Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича. М.— Л.: Изд. Академии наук СССР, 1953.ГеометрияДекарт Р.
  18. / Пер. И. Ю. Тимченко. — 2-е изд., испр. — Одесса: Mathesis, 1917.История элементарной математики. Прибавление 12Кэджори Ф.
  19. , Том I, с. 304-305.История математики, 1970—1972
  20. , Том II, с. 21.История математики, 1970—1972
  21. Декарт и математика. // Р. Декарт. Геометрия. М.— Л.: 1938. С. 255—294.Юшкевич А. П.
  22. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Пер., примечания и статья А. П. Юшкевича. М.— Л.: 1938.Декарт Р.
  23. / Пер. Я. В. Успенского. Предисловие А. А. Маркова. М.: Наука, 1986.О законе больших чиселЯ. Бернулли
  24. / Пер. и предисловие Г. Н. Свешникова. Вступительная статья М. Я. Выгодского. М.— Л.: ГТТИ, 1935. С. 109.Новая стереометрия винных бочекИ. Кеплер.
  25. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, с приложением «Опыта IV» о применении неделимых к алгебраическим степеням / Пер., вступительная статья и комментарии С. Я. Лурье. М.— Л.: 1940.Кавальери Б.
  26. Ферма П. Введение в изучение плоских и пространственных мест. О максимуме и минимуме. Выдержки из переписки с Декартом // Р. Декарт. Геометрия. М.—Л.: 1938. С. 137—196.
  27. Математические работы / Пер., статьи и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.—Л.: 1937.И. Ньютон.
  28. Избранные отрывки из математических сочинений / Составил и перевёл А. П. Юшкевич. — Успехи матем. наук, 1948. Т. III. В. I (23). С. 165—204.Лейбниц Г. В.
  29. ), Париж, 1667.Nouveaux elements de geometrie фр. Новые начала геометрии (Антуан Арно.
  30. / Пер. В. С. Гохмана, под ред. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье. М.—Л.: 1950.Аналитическая механика, т. I, IIЖ. Лагранж.
  31. Изложение системы мира. — Л.: Наука, 1982. 376 с.Лаплас П. С.
  32. / Пер. Е. Л. Пацановского, статья А. Шпайзера, ред. И. Б. Погребысского. С. 109.Введение в анализ бесконечных. Т. IЛ. Эйлер.
  33. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961Котек В. В.
  34. Опыт философии теории вероятностей / Пер. A. I. B.; ред. А. К. Власова. М.: 1908.Лаплас П.
  35. .ISBN 5-7038-2890-2, 2006. — С. 477. — 648 с. — МГТУ им. Баумана: М. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — Панов В. Ф.
  36. / Пер. В. Ф. Газе, под редакцией Д. И. Каргипа. М.: 1947.Начертательная геометрияГ. Монж.
  37. // Основания геометрии. М.: ГИТТЛ, 1956.Общие исследования о кривых поверхностяхГаусс К. Ф.
  38. Очерк истории дифференциальной геометрии. М.; Л.: Гостехиздат, 1941.Стройк Д.
  39. М.—Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1948.СочиненияРиман Б.
  40. Алгебраический анализ / Пер. Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина. Лейпциг: 1864. С. VI.О. Л. Коши.
  41. / Пер. Б. Б. Демьянова, общая ред. И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. М.: Изд-во АН СССР, 1959.Труды по теории чиселГаусс К. Ф.
  42. М.: Мир, 1965Введение в геометрию чиселКасселс Дж.
  43. М.—Л.: ОНТИ, 1936.СочиненияГалуа Э.
  44. / Под ред. П. С. Александрова. М.: «Наука», 1969. С. 34.Проблемы Гильберта
  45. Основы науки. СПб.: 1881.Джевонс С.
  46. , с. 228—250.Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984
  47. , с. 251—299.Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984
  48. , с. 7-8.Вейль Г. Полвека математики, 1969
  • История отечественной математики (в 4 томах, 5 книгах) / Под ред. И. З. Штокало. — Киев: Наукова думка, 1966—1970.
  • : Мир, 1984. — 446 с.М.. — Математика. Утрата определённостиКлайн М.
  • : Мир, 1988. — 295 с.М.. — Математика. Поиск истиныКлайн М.
  • .ISBN 5-7406-0544-X Избранные главы истории математики. — Калининград: Янтарный сказ, 2002. — 304 с. — Малаховский В. С.
  • : Изд-во МГУ, 1997.М.Очерки по истории математики. —
  • : Изд. МГУ.М. История математики в двух томах. — Рыбников К. А.
  • Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. 1976, 318 с.
  • Математический анализ. Теории вероятностей. 1977, 224 с.
  • : Просвещение, 1979. — 256 с.М.. — Творцы математикиБелл Э. Т.
  • : ГИФМЛ, 1960. — 468 с.М.. — История математики от Декарта до середины XIX столетияВилейтнер Г.
  • .ISBN 5-900916-83-9, 2001. — МЦНМО: М.. — 3-е изд., расш. — Рассказы о физиках и математикахГиндикин С. Г.
  • : Наука, 1986.М. Рассказы об учёных. — Лишевский В. П.
  • : Наука, 1967.М. Теория вероятностей. Исторический очерк. — Майстров Л. Е.
  • : ГТТИ, 1951.М.. — Очерки по истории теории аналитических функцийМаркушевич А. И.
  • : Наука, 1987.М.. — Рене ДекартМатвиевская Г. П.
  • : Наука, 1979.М. Из истории алгебры. — Никифоровский В. А.
  • : Наука, 1985.М. Путь к интегралу. — Никифоровский В. А.
  • : Наука, 1977.М. Математическая мысль допетровской Руси. — Симонов Р. А.
  • История математики в XVI и XVII веках. — М.-Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.Цейтен Г. Г.
  • Том I М.-Л.: ГОНТИ, 1937. 432 с.
  • Том II. М.-Ижевск: 2003, 239 с.
  • : Наука, 1978-1987.М. Математика XIX века. — Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
  • : Физматгиз, 1959.М.Математика в СССР за сорок лет, 1917—1957. —
Вернуться назад